La lotería de Navidad, una cuestión de estadística
La lotería de navidad es el sorteo del año con más participación en España. Sus décimos comienzan a venderse en verano, y lo hace hasta horas antes del sorteo. Una de las razones por las que se compra tanto es que a nadie le gusta descubrir que se ha repartido un premio en un lugar que habitualmente visita y que sus vecinos, o sus compañeros de trabajo, reciben el premio y él no.
El sorteo de navidad reparte 2.520 millones en premios. Si se vendieran todas las series de todos los números, los premios reparten un 70% de la recaudación total, que supone una facturación de 3.600 millones.
Con un único décimo, la probabilidad que tenemos de ganar algún premio es del 15,3%, un 5,3% si excluimos los reintegros, que a efectos prácticos no suponen premio alguno.
Si consideramos la compra de un décimo como una inversión de 20€, podemos calcular fácilmente su ganancia esperada teniendo en cuenta los posibles premios que ganaremos y la probabilidad de obtener cada premio. En este sentido, el premio esperado por décimo es de 14€, que con una inversión inicial de 20€ nos da una ganancia esperada de -6€ (rentabilidad esperada de -30%). Claramente, esto coincide con el 30% de ganancias que no se reparten. Fijémonos en que incluso si pudiéramos comprar todos los billetes en juego (180 series de 100.000 números cada una) perderíamos el 30% de lo invertido. Pero aunque realmente debemos esperar perder dinero –en media es lo que ocurre- es la ilusión de la posibilidad de ganar un premio la que impulsa a millones de personas cada año a comprar. Además, aunque en media jugar a la lotería no sea objetivamente un buen negocio, sí es verdad que cuando ganas un premio obtienes un beneficio, en unos casos más cuantioso que en otros.
Desde 2014 se aplica un impuesto sobre la lotería que reduce esta rentabilidad esperada. Este impuesto aplica una retención de un 20% sobre cualquier premio que se obtenga superior a 2.500 €. El premio se recibe ya neto de este impuesto, por lo que si te toca el Gordo en lugar de obtener 400.000 €, obtendrás 320.500 € (los primeros 2.500 € están exentos, de manera que se aplica el 20% sobre 397.500). De esta manera, el premio esperado por décimo queda en 12,74 €, y la rentabilidad esperada será igual a -36%.
Todos los números tienen la misma probabilidad de salir, a este respecto no hay trampa ni cartón. Además si este año ha salido un número, al año que viene tiene la misma probabilidad de salir que los demás, ya que se trata de sucesos independientes. Sin embargo, es complicado que el mismo número salga en dos años consecutivos, porque esa probabilidad sería el cuadrado de la probabilidad inicial que, al ser un número entre 0 y 1, nos da un valor más pequeño. Así, considerando la probabilidad de obtener premio con un décimo (5,3% excluyendo reintegros), la probabilidad que un mismo número salga dos años consecutivos sería de 0,28%, que como vemos es muy inferior.
Los españoles suelen preferir los números impares, sobre todo si finalizan en 7 y 9. Para las dos últimas cifras, los más demandados son los que finalizan en 15, 22, ó 33. Y los que se consideran que dan menos suerte son los que finalizan en 0 ó 8. También se suelen solicitar los números del 1 al 31, o cifras con fechas especiales para el comprador (cumpleaños, aniversarios, etc). También hay personas que buscan un número que todavía no haya salido premiado o justo al revés, uno que ya haya salido en otras ocasiones. Otras cifras elegidas son las de efemérides ocurridas durante el año en curso (por ejemplo, cuando ganó nuestro equipo de fútbol, o cuando se casó o falleció algún famoso) Esto no deja de ser una superstición, ya que absolutamente todos los números tienen las mismas posibilidades de salir.
Si nos preguntamos por las posibilidades que hay de que un número raro (capicúa o con cifras repetidas) pueda salir después de otro similar (también raro) debemos tener en cuenta que los considerados como números raros tienen la misma probabilidad de salir que los números normales. Si consideramos la probabilidad de que salga cualquier número raro frente a la probabilidad de que salga cualquier número “normal”, la probabilidad depende de cuántos valores incluyamos en este conjunto. Normalmente el conjunto de números raros serán más reducido (por su propia definición), por lo que la probabilidad global de que salga un número raro sí es menor.
